カオス #13 畑政義写像

こんばんは．まだまだ，画像があります．


Fig.1
完璧な◆形．
a=0.75i
b=0.25
c=0.75i
d=0.25


Fig.2
大量の線です．
a=-0.75+0.25i
b=0.5i
c=0
d=-0.5+0.5i


Fig.3
少し拡大するとこんな感じ．

カオス #12 畑政義写像

こんばんは．画像がたまってきたので，ちまちま公開．


Fig.1
自己相似だと分かりやすく，セルオートマトンを思い出させる図形．
a=0
b=0.5+0.5i
c=0.5
d=0


Fig.2
地図記号みたいな．
a=0.25+0.5i
b=0.25
c=0.25+0.5i
d=0.25


Fig.3
こんなロゴ，どこかで見たことあるような…
a=0.5+0.5i
b=0.25+0.25i
c=0.5+0.5i
d=0.25+0.25i

カオス #11 畑政義写像

こんばんは．畑政義写像再び再び再び．この写像には無限の可能性を感じますね．
何となく似ている図形3つです．


Fig.1
ぐるぐると…
a=0.5-0.5i
b=0
c=-0.5-0.5i
d=0


Fig.2
歯車のような．
a=0.5-0.5i
b=0
c=-0.5+0.5i
d=0


Fig.3
Fig.2を回転させただけだったり…
a=0.5+0.5i
b=0
c=0.5+0.5i
d=0

カオス #10 畑政義写像

畑政義写像再び再び．パラメータを変えてみると，様々な図形が出来るものです．


Fig.1
いたる所自己相似．
a=0
b=1/√2i
c=0
d=-0.5


Fig.2
Fig.1の三角形版みたいな感じ．
a=0
b=0.5+0.5i
c=0
d=-0.5


Fig.3
二等辺三角形．見事な一様分布です．
a=0
b=0.5+0.5i
c=0
d=0.5-0.5i

カオス #9 IFS

こんばんは．今日は円周率の日です．
今回はIFSの一部を．
IFS(Iterated function system)は反復関数系のことで，フラクタルの一種です．
図的に言うならば，ある初期座標(x₀, y₀)に対し，関数系から無作為に
関数を選択し適用，この動作を反復して該当する座標にプロットしていきます．(畑政義写像も反復関数形に属するのかも知れないです．)

今回は，反復関数系の中から，2つ試してみます．

・シダ
初期座標を(x₀=0, y₀=0)とし，以下に示す4つの座標変換のうち一つを選択し，反復適用していきます．Pは選択される確率です．

x_n+1=0
y_n+1=0.16y_n
P₁=1%
x_n+1=0.2x_n-0.26y_n
y_n+1=0.23x_n+0.22y_n+1.6
P₂=7%
x_n+1=-0.15x_n+0.28y_n
y_n+1=0.26x_n+0.24y_n+0.44
P₃=7%
x_n+1=0.85x_n+0.04y_n
y_n+1=-0.04x_n+0.85y_n+1.6
P₄=85%


Fig.1 Fern IFS

ついでに下の参考文献に載っていたように，選ばれた関数ごとに色付けしてみました．


Fig.2 Fern IFS(Color)

定数パラメータを変えると，違った“シダ”も見れるようです．

・アンモナイト
x_n+1=-0.289993x_n-0.001347y_n+0.593333
y_n+1=0.001986x_n-0.196662y_n-0.32
P₁=0.06124
x_n+1=-0.073058x_n-0.024834y_n+0.793333
y_n+1=-0.006353x_n+0.285589y_n-0.056667
P₂=0.022236
x_n+1=0.939186x_n-0.218787y_n-0.046667
y_n+1=0.214337x_n+0.958685y_n+0.01
P₃=0.916524;


Fig.3 Ammonite IFS


Fig.4 Ammonite IFS
こちらの配色の方がいいかも．


Fig.5 Ammonite IFS(Color)

非常に綺麗な画像が生成されました．

参考文献

Wikipediaの執筆者たち．“反復関数系”．＜http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8D%E5%BE%A9%E9%96%A2%E6%95%B0%E7%B3%BB＞．Wikipedia．（参照2009年3月1日）

吉本稔．“Chaos Room”．＜http://www.be.kagoshima-u.ac.jp/~yoshimoto-lab/makechaos.html＞．吉本研究室．（参照2009年2月22日）

カオス #8 マンデルブロ集合2

マンデルブロ集合再び．

今回は
z_n+1=z_n^M+C
において，Mが小数(非整数)，負数の時を見ていこうと思います．

・M:非整数
Mが非整数の時は，どうやってz_n^M+Cを計算するかというと，zを極形式に変換します．

z=x+yi
=r*e^iθ
r=|z|=√(x*x+y*y)
θ=arg(z)=arctan(y, x)

こんな感じ，ということで，
z^M
=r^M*e^iMθ
=r^M*(isin(Mθ)+cos(Mθ))
となります．

では，下にMが非整数のときの結果を示します．


Fig.1 M=2.2


Fig.2 M=2.7

かなり半端な図形です．M=2からM=3までの途中段階という感じです．
さらに，Fig.1を拡大すると…


Fig.3 M=2.2 (zoom)

やっぱり半端です．

・M:負数
M=-1とすると，
z₁=z₀^-1+C=0^-1+C
となり，マズイので，z₀=Cとして計算します．
z_n^Mは先程と同様に計算することが出来ます．
ただし，若干不正確な処があります．今までは，「発散した」という条件を
|z|²>4
という閾値で判断していました．しかし，逆数乗を繰り返す場合，発散しない場合でも，4を大きく上回る
値をとりながら振動してしまう場合がありました(正数乗の場合は閾値は4で良いらしいです)．ここら辺の扱いはよく分からないので，ここでは不正確ながら閾値を16に設定してみます．


Fig.4 M=-1


Fig.5 M=-2


Fig.6 M=-3

（…参考文献とほとんど同じ配色なってしまいました…）
M>0の時とは全く雰囲気が違います．中央部が発散していて，中心から離れると発散しなくなります．

こんな処です．最後に動画を…．
Mが0から-16に変化します．



参考文献
Paul Bourke．“Mandelbrot powers”．＜http://local.wasp.uwa.edu.au/~pbourke/fractals/mandelpower/＞．Paul Bourke - Personal Pages．（参照2009年3月7日）

カオス #7 GingerbreadMan

小ネタ．

Gingerbread man

Gingerbread manは

x_n+1=1-y_n+|x_n|
y_n+1=x_n

を反復させ，(x_n, y_n)をプロットしていったものです．

ちなみにGingerbread manはジンジャークッキーを人の形に焼き上げたものです(参考文献参照)．形が似ているから，この名前になったのでしょう

下にプロットした画像を示します．


Fig.1 Gingerbread man

非常にエッジがはっきりとしています．

少しばかりしてから分かったのですが，初期座標(x₀， y₀)によって，出来る図形は異なるようです．


Fig.2

これもまた，エッジははっきりしていますが，面白い形です．初期座標によって，これらと異なる図形が無数に生成されます．

参考文献
Wikipediaの執筆者たち．“ジンジャークッキー”．＜http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B8%E3%83%B3%E3%82%B8%E3%83%A3%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%83%83%E3%82%AD%E3%83%BC＞．Wikipedia．（参照2009年3月6日）

Paul Bourke．“Gingerbread man”．＜http://local.wasp.uwa.edu.au/~pbourke/fractals/gingerbread/＞．Paul Bourke - Personal Pages．（参照2009年3月6日）