カオス #18 Riddled Basin

こんばんは．本日はRiddled Basinについて．

x_n+1=x_n²-y_n²-x_n-λy_n
y_n+1=2x_ny_n-λx_n+y_n

z_n+1=z_n²-(1+λi)z_n~

上に示した写像について考えます．以降，λ=1とします．

この写像には3つのアトラクターがあります(Fig.1)．
x:[-1.8, 2.4]
y:[-2.4, 1.8]


Fig.1 Riddled Basin attractor

初期値z₀=x₀+y₀iによって，発散，赤アトラクタに収束，緑アトラクタに収束，青アトラクタに収束，のどれかになります．アトラクタへ収束する速度に応じて色付け(速い方が白い)したものがFig.2です．


Fig.2 Riddled Basin

非常に入り組んだ構造を持っており，カオスな画像です．
このように入り組んでいるのをRiddled Basinというらしいです．

・おまけ


Fig.3 霜降り

赤のみで着色するとこの様になります．霜降り肉みたいです．あまり食べたい形ではないですが．

元ネタは下．

参考文献
金丸隆志．“リドル・ベイスン”．＜http://brain.cc.kogakuin.ac.jp/~kanamaru/Chaos/RiddledBasin/＞．金丸隆志のページ．（参照2009年4月9日）

カオス #17 ロジスティック写像

こんばんは．最近の投稿がすべて"カオス"でカオスですが，再びロジスティック写像です．今回は小ネタ．

・不変測度

不変測度は，かなりいい加減な説明をすると，xに対しf(x)を繰り返し適用していって，関数の値がどのくらいの割合で分布しているかみたいなものです．以前にも可視化したものを投稿しましたが．

ロジスティック写像f(x)=ax(1-x)に対しての不変測度は，例えばa=3.7の時は，下のようになります．


Fig.1

xの範囲は[0,1]です．

で，これを動画にしてみると，下の様になります．



この動画は，映像作品としてはあまり面白くないようです．ロジスティック写像マニアの方なら面白いかも知れませんが．
10分間じーっと見ていてくれた方はお疲れ様です．

・カントル集合

f(x)=ax(1-x)において，a>4の時は，ほとんどのxは-∞に発散します．発散しないxの集合をΛとした時，Λはカントル集合なのだそうです(詳しいことは省きます)．で，aを変化させていき，xの発散速度に応じて色付けをしてみるとこんな感じになります．


Fig.2

aの範囲は[4,2+√5](下から上)，xの範囲は[0,1]です．黒くになるにつれて，発散が遅いことを示します．黒い線がいくつか見えますが，これがΛに入るらしいです．

今回は1次元的な画像でしたので，あまり面白みがなかったかも知れません．

カオス #16 悪魔の階段

怪しいタイトルになってまいりました．フラクタルな要素があったりする，1変数の関数について．

・悪魔の階段

この関数は，ほとんど至る所でf'(x)=0なのに，f(0)≠f(1)です．こんな階段あったら欲しいですね．坂が無いのに，歩いていたらいつの間にか頂上に着いています．


Fig.1 Devil's staircase

・ワイエルシュトラス関数
ワイエルシュトラスが1875年に作ったもので，どこでも微分不可能な連続関数だそうです．


Exp.1 Weierstrass function


Fig.2 Weierstrass function(a=1/2, b=3)

・リーマン関数
この関数は1861年頃リーマンが考案したもので，連続だが，どこでも微分できないと考えました(実際にはx=πなどで微分可能でしたが)．


Exp.2 Riemann function


Fig.3 Riemann function

・高木関数(ブラマンジェ曲線)

この関数は高木貞治が1903年の論文で，「連続だが至る所で微と分不可能な関数」として構成しました．
ブラマンジェとは洋菓子の一種です．この関数のグラフがブラマンジェに似ています．


Exp.3 Takagi function(Blancmange curve)


Fig.4 Takagi function(Blancmange curve)

これらの画像は壁紙にぴったりです．

参考文献

E．ハイラー，G．ヴァンナー．解析教程．東京．シュプリンガー．ジャパン，2007，280p．

カオス #15 畑政義写像

こんばんは．放出終了．


Fig.1
意表を突くシンプルさ．
a=0.5+0.5i
b=0.25+0.25i
c=0.5+0.5i
d=-0.5+0.5i


Fig.2
'e'あるいは'9'または'の'．
a=2/3-0.5i
b=0.2
c=-0.25+0.5i
d=0


Fig.3
雲のような，翼のような…
a=0.55-0.45i
b=0
c=0.8+0.2i
d=0


Fig.4
無題．
a=2/3-0.5i
b=0
c=-0.25+0.5i
d=0

結構な量の画像が出来ました．これらを使ってムービーを作れたらと思います．

カオス #14 畑政義写像

こんばんは．さらに連続投稿．


Fig.1
3本の足が大量に．
a=-0.25+0.5i
b=0
c=0
d=0.75


Fig.2
こっちも足が大量に．
a=0.5i
b=0
c=0
d=0.75


Fig.3
三角形分裂．
a=-0.5+0.5i
b=0
c=0
d=0.1i