TETRIS for GBA

以前(2年以上前)作成したモノの紹介．

TETRIS for GBA

TGM3を参考にして，GBA用に作った20Gモードのテトリスです．
ちなみに，GBAのソフトはC言語で作る事ができ，PC上でもエミュレータで動作させる事ができます．


Fig.1
タイトル画面．


Fig.2
ゲーム画面．背景以外は(TGM3を模倣したデザインで)全て自分でドット絵を打っています．

20Gモードですので，IRSや壁蹴り，回転規則の純粋な再現等，割と凝って作った記憶が思い出されます．
また，画像に関しても当時のレベルで出来る事を全てやったようです．

カオス #23 リヤプノフ・フラクタル

カオス久し振り．

リヤプノフ・フラクタル(Lyapunov fractal)
リヤプノフ・フラクタルとは，
L(x)=rx(1-x)
のrを2つの値a, b∈[0, 4]に切り替えることで得られる分岐的フラクタルです．

具体的には，L(x)についてのリヤプノフ数を計算します．
リヤプノフ数は以下の式で表されます．



r_nの決め方
例えば，a=2, b=3.5，パラメータ文字列を"ABB"とした時，
r_{0, 3, 6, …}=a=2
r_{1, 4, 7, …}=b=3.5
r_{2, 5, 8, …}=b=3.5
となります．

というわけで，作ってみました．画像では，
左上が(a, b)=(0, 0)，
右下が(a, b)=(4, 4)．

また，着色は以下のようにしてあります．
Λ＞0 - 黒
Λ＜0 - 絶対値が大きい程，白に近い(小さい時は青や赤)


Fig.1 A


Fig.2 B


Fig.3 AB


Fig.4 AAB


Fig.5 ABB


Fig.6 AAAB


Fig.7 AABB


Fig.8 ABBB


Fig.9 AAAAB


Fig.10 AAABB


Fig.11 AABAB


Fig.12 AABBB


Fig.13 ABABB


Fig.14 ABBBB

ちなみに，この画像は2048x2048で作った後，512x512に縮小しています(その方が結果的に綺麗)．
だので，1画像に関して，サイズ12MB，製作時間9分となりました．

セルオートマトン #6 ルール4

ルール4
クラス1

時刻tでの状態	■■■	■■□	■□■	■□□	□■■	□■□	□□■	□□□
時刻t+1での状態	□	□	□	□	□	■	□	□

2個以上の■の塊は次の時刻には消滅します．
■の両脇に1つ以上の□がある時のみ生存し，その後は変化無し(周期1)．


Fig.1 rule4

こんな感じ．

セルオートマトン #5 ルール3

ルール3
クラス2

時刻tでの状態	■■■	■■□	■□■	■□□	□■■	□■□	□□■	□□□
時刻t+1での状態	□	□	□	□	□	□	■	■

これは，ルール1，2を合わせた感じです．
ルール1の条件で白黒の条件が決まり，また，ルール2の様にシフトします(但し，2時刻かけて，右シフト)．


Fig.1 rule3

こんな感じ．

プロコンシミュレータ

久しぶりにソフト製作．

第二十回全国高等専門学校プログラミングコンテスト
競技部門シミュレータ
何色？ サッと見 発見伝

そのまんまの内容です．ルールは高専プロコン公式サイトをどうぞ．

コンセプトは「ミスマッチ」．



タイトル画面
文字が徐々に形を成していきます．


難易度選択画面
・とても簡単
・簡単
・普通
・難しい
・ノイマン先生専用
の5タイプ


こんな感じに操作できます．回す際は「がちゃン」というSEも入ります．


クリアすると祝福してくれます(BGM付き)．
クリアした(上の)後は，(テレビの)砂嵐と共にwhite noiseが流れるようにすると，より良いかと思われます．

セルオートマトン #4 ルール2

ルール2
クラス2

時刻tでの状態	■■■	■■□	■□■	■□□	□■■	□■□	□□■	□□□
時刻t+1での状態	□	□	□	□	□	□	■	□

基本的には，セルが黒(=1)だった時，次の時刻では左にシフトすることが分かります．
ただし，黒がいくつか連なっているとき，あるいは黒の塊が2つ以上あり，その間には1つの白(=0)しかない時は，その左端だけがシフトし，他のセルは白となります．
□□■■■■□□
□■□□□□□□
■□□□□□□□
とか，
□□■■□■■■□□■■
□■□□□□□□□■□□
■□□□□□□□■□□□
など．


Fig.1 rule2

こんな感じ．
左端と右端はつながっています．
また，t>0で，周期はセルの長さ(ここでは，横幅256)です．

セルオートマトン #3 ルール1

ルール1
クラス2

時刻tでの状態	■■■	■■□	■□■	■□□	□■■	□■□	□□■	□□□
時刻t+1での状態	□	□	□	□	□	□	□	■

これを適用するとどのようになるかというと，
1.奇数時刻で白，偶数時刻で黒．
2.奇数時刻で黒，偶数時刻で白．
3.奇数時刻で白，偶数時刻で白．
(但し，t>0)
の3種類に分かれます．

自分が黒，もしくは，黒の塊と黒の塊の間が2セル以下の白は1.に，
自分と両脇が白のセルは2.に，
そうでないセルは，3.になります．


Fig.1 rule1

このようになります．
t>0では周期2に落ち着きます．

セルオートマトン #2 ルール0

ルール0
クラス1

時刻tでの状態	■■■	■■□	■□■	■□□	□■■	□■□	□□■	□□□
時刻t+1での状態	□	□	□	□	□	□	□	□

ルール0は次の状態が，前の状態如何に関わらず0(=□)です．
詰まる所，具体例を示すと…

時刻0	□■□□■■□□□■■■■□■□
時刻1	□□□□□□□□□□□□□□□□

このようになります．
t=0を初期状態として始めると，t=1には全てのセルが0になります．

t=0 … CAﾊｼﾞﾏﾀ＼(^o^)／
t=1 … CAｵﾜﾀ＼(^o^)／
t=2 … CAｵﾜﾃﾙ＼(^o^)／
t=3 … CAｵﾜﾃﾙ＼(^o^)／
…

数学 #10 数値解析 #3 ルンゲ・クッタ法

先日紹介したオイラー法．今回は，それよりも精度の高いルンゲ・クッタ法を紹介したいと思います．上には上がいるものです．

ルンゲ・クッタ法(Runge-Kutta method)

初期値を，



とすると，(hは刻み幅)







となります．

一般化したりできますが，省略します．

オイラー法の様にしてこれを計算すると，非常に精度良く数値解を求める事が出来ます．

セルオートマトン #1 イントロダクション

こんばんは．今回はセルオートマトンについて．
セルオートマトンで有名なのは，ライフゲーム(Game of Life)ですが，今回は違います．

1次元セルオートマトン(Cellular automaton)

1次元セルオートマトンは，最もシンプルなセルオートマトンです．
セルは1次元に並んでいて，あるセルに2つのセルが隣接しています．
また，セルの種類は“0”，“1”の2つのみです．ここでは0を□，1を■とします．

□■□■■■□□
例えばある時刻tでは，こんな感じ．

そして，

a_k^t+1=f(a_k-1^t, a_k^t, a_k+1^t)

という式により，セルを更新します．
a_k^tは時刻tにおける，k番目のセルの状態であり，
a_k-1^tはその左隣，
a_k+1^tはその右隣
を表します．
つまり，時刻t+1(次の時刻)のセルの状態は，時刻t(現在)のセルとその両脇のセルの状態によって決まるわけです．

更新に使うfは例えば下のようなものです．

時刻tでの状態 (ak-1t, akt, ak+1t)	(1, 1, 1)	(1, 1, 0)	(1, 0, 1)	(1, 0, 0)	(0, 1, 1)	(0, 1, 0)	(0, 0, 1)	(0, 0, 0)
時刻t+1での状態 akt+1=f(ak-1t, akt, ak+1t)	0	0	0	1	1	1	1	0

同じですが以下のようにも書けます．

時刻tでの状態(左，中央，右)	■■■	■■□	■□■	■□□	□■■	□■□	□□■	□□□
時刻t+1での状態(中央)	□	□	□	■	■	■	■	□

このような“ルール”を各セルに適用します．

例:
□■□■■■□□
とりあえず，両端は考えない事にします．その内側のみを更新します．
□■□ → ■
■□■ → □
□■■ → ■
■■■ → □
■■□ → □
■□□ → ■
なので，
□■□■□□■□
となります．

これを繰り返していくだけです．

この“ルール”の数は，
左，中央，右の3セルが作る状態数=8，
1つの状態に対する，次のセルの状態数=2，
であるので，
2⁸=256通りとなります．

具体的には，

時刻tでの状態	■■■	■■□	■□■	■□□	□■■	□■□	□□■	□□□
ルール0	□	□	□	□	□	□	□	□
ルール1	□	□	□	□	□	□	□	■
ルール2	□	□	□	□	□	□	■	□
ルール3	□	□	□	□	□	□	■	■
…
ルール252	■	■	■	■	■	■	□	□
ルール253	■	■	■	■	■	■	□	■
ルール254	■	■	■	■	■	■	■	□
ルール255	■	■	■	■	■	■	■	■

□=0，■=1なので，“ルール30”とかいったら，30を2進数(=00011110)に直せばいいわけです．

以上で，このモデルの説明は終わりです．

さてさて，セルオートマトンは，その振る舞いから，以下の4クラスに分類されます．

クラス1 - セル全体が同じ状態になり，変化しなくなる．:秩序状態
クラス2 - セルの時間発展につれ，最終的に周期的な変化になる．:秩序状態
クラス3 - セル全体がランダムな変化を続ける．:カオス状態
クラス4 - 規則的なパターンとランダムなパターンが共存し，複雑なパターンを形成する．

クラス1，2は単純過ぎ(簡単に予測できる)，クラス3はカオス過ぎ，クラス4が丁度良い，つまり，現実世界で起こる現象に近いのではないか，と考えられたみたいです．

というわけで，全ルールを(出来れば)紹介していきます．

数学 #9 積分記号下での微分

私淑する物理学者の中に，ファインマンという人がいます．

彼の自伝(「ご冗談でしょう、ファインマンさん」)の中にこんな文章がありました．

ウッズの本には積分記号の中で係数を微分する方法もでていたが、あれだって一種の演算だ。ところが大学ではこれをあんまり教えないし、強調もしない。僕はウッズの本のおかげでその方法の使い方を覚え、それからもずっと馬鹿の一つ覚えみたいに、あれを繰り返し役に立ててきた。何しろ本を読んで覚えた自己流だから、僕のはずいぶんへんてこな積分法だったと思う。

というわけですが，この「積分記号の中で微分する」というのが暫くどういった方法か分かりませんでした．最近になって調べ直した所，解析概論の中に例を含めて載っているとのことなので，早速見てみました

解析概論
第4章 無限級数 一様収束
48. 連続的変数に関する一様収束 積分記号下での微分積分

仮定，条件は素っ飛ばすので厳密は微塵もなくなりますが，つまりは，


ということです．

例1:
下の定積分は直ぐに求められます．


ここで，両辺をαで偏微分すると，




となります．
同様にすると，n階偏微分の時


という公式が出来ます．

例2:
下の定積分も頑張れば求められます．


そして，

と改め，αでn階偏微分すると，




となります．

こんな方法があるのでした．

物理 #3 衝突(3次元)

最終的には3次元．

球A:
位置:r₁=(x₁, y₁, z₁)T
衝突前速度:v₁=(v_1x, v_1y, v_1z)T
衝突後速度:v₁'=(v_1x', v_1y', v_1z')T
質量:m₁
反発係数:e₁

球B:
位置:r₂=(x₂, y₂, z₂)T
衝突前速度:v₂=(v_2x, v_2y, v_2z)T
衝突後速度:v₂'=(v_2x', v_2y', v_2z')T
質量:m₂
反発係数:e₂

重要なのは，正規直交基底の取り方ですが，
1つ目e₁は，r₂-r₁を正規化したもの，
2つ目e₂は，e₁に垂直になるようにし，
3つ目e₃は，e₁，e₂に垂直となるようにします．

具体的には，

e₁=(x, y, z)T
とします．次に
e₂として，
(0, z, -y)T/|e₂|
(y, -x, 0)T/|e₂|
の内，計算可能なものを選びます．
そして，
e₃=e₁×e₂
とします(“×”は外積)．

このようにすると，
e₁ - 1次元での衝突
e₂ - 速度は不変
e₃ - 速度は不変
となります．

あとは2次元の時と同様に

v₁=w_1xe₁+w_1ye₂+w_1ze₃
v₂=w_2xe₁+w_2ye₂+w_2ze₃

と表した時，

w_1x=v₁・e₁
w_1y=v₁・e₂
w_1z=v₁・e₃
w_2x=v₂・e₁
w_2y=v₂・e₂
w_2z=v₂・e₃

だから，

w_1x'=(m₁w_1x+m₂w_2x)/(m₁+m₂)+e(w_2x-w_1x)m₂/(m₁+m₂)
w_1y'=w_1y
w_1z'=w_1z
w_2x'=(m₁w_1x+m₂w_2x)/(m₁+m₂)+e(w_1x-w_2x)m₁/(m₁+m₂)
w_2y'=w_2y
w_2z'=w_2z

となり，

v_1x'=w_1x'e_1x+w_1y'e_2x+w_1z'e_3x
v_1y'=w_1x'e_1y+w_1y'e_2y+w_1z'e_3y
v_1z'=w_1x'e_1z+w_1y'e_2z+w_1z'e_3z
v_2x'=w_2x'e_1x+w_2y'e_2x+w_2z'e_3x
v_2y'=w_2x'e_1y+w_2y'e_2y+w_2z'e_3y
v_2z'=w_2x'e_1z+w_2y'e_2z+w_2z'e_3z

衝突条件は勿論，

(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²+(z₂-z₁)²≦(r₁+r₂)²

(rはそれぞれの球の半径です)

これで終わりです．4次元，5次元と拡張する場合は，基底の取り方に注意すれば後は同じです．



シミューレーションすると，これもまた感動です．