セルオートマトン #1 イントロダクション

こんばんは．今回はセルオートマトンについて．
セルオートマトンで有名なのは，ライフゲーム(Game of Life)ですが，今回は違います．

1次元セルオートマトン(Cellular automaton)

1次元セルオートマトンは，最もシンプルなセルオートマトンです．
セルは1次元に並んでいて，あるセルに2つのセルが隣接しています．
また，セルの種類は“0”，“1”の2つのみです．ここでは0を□，1を■とします．

□■□■■■□□
例えばある時刻tでは，こんな感じ．

そして，

a_k^t+1=f(a_k-1^t, a_k^t, a_k+1^t)

という式により，セルを更新します．
a_k^tは時刻tにおける，k番目のセルの状態であり，
a_k-1^tはその左隣，
a_k+1^tはその右隣
を表します．
つまり，時刻t+1(次の時刻)のセルの状態は，時刻t(現在)のセルとその両脇のセルの状態によって決まるわけです．

更新に使うfは例えば下のようなものです．

時刻tでの状態 (ak-1t, akt, ak+1t)	(1, 1, 1)	(1, 1, 0)	(1, 0, 1)	(1, 0, 0)	(0, 1, 1)	(0, 1, 0)	(0, 0, 1)	(0, 0, 0)
時刻t+1での状態 akt+1=f(ak-1t, akt, ak+1t)	0	0	0	1	1	1	1	0

同じですが以下のようにも書けます．

時刻tでの状態(左，中央，右)	■■■	■■□	■□■	■□□	□■■	□■□	□□■	□□□
時刻t+1での状態(中央)	□	□	□	■	■	■	■	□

このような“ルール”を各セルに適用します．

例:
□■□■■■□□
とりあえず，両端は考えない事にします．その内側のみを更新します．
□■□ → ■
■□■ → □
□■■ → ■
■■■ → □
■■□ → □
■□□ → ■
なので，
□■□■□□■□
となります．

これを繰り返していくだけです．

この“ルール”の数は，
左，中央，右の3セルが作る状態数=8，
1つの状態に対する，次のセルの状態数=2，
であるので，
2⁸=256通りとなります．

具体的には，

時刻tでの状態	■■■	■■□	■□■	■□□	□■■	□■□	□□■	□□□
ルール0	□	□	□	□	□	□	□	□
ルール1	□	□	□	□	□	□	□	■
ルール2	□	□	□	□	□	□	■	□
ルール3	□	□	□	□	□	□	■	■
…
ルール252	■	■	■	■	■	■	□	□
ルール253	■	■	■	■	■	■	□	■
ルール254	■	■	■	■	■	■	■	□
ルール255	■	■	■	■	■	■	■	■

□=0，■=1なので，“ルール30”とかいったら，30を2進数(=00011110)に直せばいいわけです．

以上で，このモデルの説明は終わりです．

さてさて，セルオートマトンは，その振る舞いから，以下の4クラスに分類されます．

クラス1 - セル全体が同じ状態になり，変化しなくなる．:秩序状態
クラス2 - セルの時間発展につれ，最終的に周期的な変化になる．:秩序状態
クラス3 - セル全体がランダムな変化を続ける．:カオス状態
クラス4 - 規則的なパターンとランダムなパターンが共存し，複雑なパターンを形成する．

クラス1，2は単純過ぎ(簡単に予測できる)，クラス3はカオス過ぎ，クラス4が丁度良い，つまり，現実世界で起こる現象に近いのではないか，と考えられたみたいです．

というわけで，全ルールを(出来れば)紹介していきます．

数学 #9 積分記号下での微分

私淑する物理学者の中に，ファインマンという人がいます．

彼の自伝(「ご冗談でしょう、ファインマンさん」)の中にこんな文章がありました．

ウッズの本には積分記号の中で係数を微分する方法もでていたが、あれだって一種の演算だ。ところが大学ではこれをあんまり教えないし、強調もしない。僕はウッズの本のおかげでその方法の使い方を覚え、それからもずっと馬鹿の一つ覚えみたいに、あれを繰り返し役に立ててきた。何しろ本を読んで覚えた自己流だから、僕のはずいぶんへんてこな積分法だったと思う。

というわけですが，この「積分記号の中で微分する」というのが暫くどういった方法か分かりませんでした．最近になって調べ直した所，解析概論の中に例を含めて載っているとのことなので，早速見てみました

解析概論
第4章 無限級数 一様収束
48. 連続的変数に関する一様収束 積分記号下での微分積分

仮定，条件は素っ飛ばすので厳密は微塵もなくなりますが，つまりは，


ということです．

例1:
下の定積分は直ぐに求められます．


ここで，両辺をαで偏微分すると，




となります．
同様にすると，n階偏微分の時


という公式が出来ます．

例2:
下の定積分も頑張れば求められます．


そして，

と改め，αでn階偏微分すると，




となります．

こんな方法があるのでした．

物理 #3 衝突(3次元)

最終的には3次元．

球A:
位置:r₁=(x₁, y₁, z₁)T
衝突前速度:v₁=(v_1x, v_1y, v_1z)T
衝突後速度:v₁'=(v_1x', v_1y', v_1z')T
質量:m₁
反発係数:e₁

球B:
位置:r₂=(x₂, y₂, z₂)T
衝突前速度:v₂=(v_2x, v_2y, v_2z)T
衝突後速度:v₂'=(v_2x', v_2y', v_2z')T
質量:m₂
反発係数:e₂

重要なのは，正規直交基底の取り方ですが，
1つ目e₁は，r₂-r₁を正規化したもの，
2つ目e₂は，e₁に垂直になるようにし，
3つ目e₃は，e₁，e₂に垂直となるようにします．

具体的には，

e₁=(x, y, z)T
とします．次に
e₂として，
(0, z, -y)T/|e₂|
(y, -x, 0)T/|e₂|
の内，計算可能なものを選びます．
そして，
e₃=e₁×e₂
とします(“×”は外積)．

このようにすると，
e₁ - 1次元での衝突
e₂ - 速度は不変
e₃ - 速度は不変
となります．

あとは2次元の時と同様に

v₁=w_1xe₁+w_1ye₂+w_1ze₃
v₂=w_2xe₁+w_2ye₂+w_2ze₃

と表した時，

w_1x=v₁・e₁
w_1y=v₁・e₂
w_1z=v₁・e₃
w_2x=v₂・e₁
w_2y=v₂・e₂
w_2z=v₂・e₃

だから，

w_1x'=(m₁w_1x+m₂w_2x)/(m₁+m₂)+e(w_2x-w_1x)m₂/(m₁+m₂)
w_1y'=w_1y
w_1z'=w_1z
w_2x'=(m₁w_1x+m₂w_2x)/(m₁+m₂)+e(w_1x-w_2x)m₁/(m₁+m₂)
w_2y'=w_2y
w_2z'=w_2z

となり，

v_1x'=w_1x'e_1x+w_1y'e_2x+w_1z'e_3x
v_1y'=w_1x'e_1y+w_1y'e_2y+w_1z'e_3y
v_1z'=w_1x'e_1z+w_1y'e_2z+w_1z'e_3z
v_2x'=w_2x'e_1x+w_2y'e_2x+w_2z'e_3x
v_2y'=w_2x'e_1y+w_2y'e_2y+w_2z'e_3y
v_2z'=w_2x'e_1z+w_2y'e_2z+w_2z'e_3z

衝突条件は勿論，

(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²+(z₂-z₁)²≦(r₁+r₂)²

(rはそれぞれの球の半径です)

これで終わりです．4次元，5次元と拡張する場合は，基底の取り方に注意すれば後は同じです．



シミューレーションすると，これもまた感動です．

数学 #8 初等関数

初等関数とは何でしょうか．

初等関数とは，
「複素数を変数とする多項式関数，指数関数，対数関数の四則演算，合成によって表示できる関数」

です．
例えば，
x⁵+ln(sin(x^-1))+e^cos(x4)+ln²⁹(x^ln(x))

とかです．

arcsin(x)は初等関数です．何故なら，
arcsin(x)=-iln(ix+√(1-x²))

だからです．

しかし，
(1-x⁴)^-1/2
の不定積分は初等関数では表せません．

初等関数で表せないものは，一部の特殊関数で表すようです．

特殊関数は色々あります．生涯を特殊関数に捧げるも良いかも知れません．

数学 #7 数値解析 #2 積分の近似計算

今回は，積分の近似計算について．

フレネル積分

フレネル積分は以下のように定義されています．





残念なことに，この積分は初等関数で表すことは出来ないようです．
というわけで近似計算．





↑では，
1.三角関数をマクローリン展開
2.項毎に積分
を行い，無限級数の形で解を出しています．

では，この級数のグラフを示しましょう．


Fig.1 Fresnel(cos)


Fig.2 Fresnel(sin)

第n項までの和のグラフを表示しています(nは1から40近くまで取ってあります)．
この級数展開の問題は，tを大きくすると，より多くの項を計算に入れないといけないという点にあります．
実際，nを大きく取っても，tの値を大きくすると直ぐに発散してしまいます．


Fig.3 Fresnel

x(t)とy(t)をxy平面にプロットすると，上のような螺旋模様が描かれます．


Fig.4

発散した時の図，アヴァンギャルドな感じが楽しめます．．

先に述べた問題が発生しない，他の近似計算法も沢山あるのですが，それは次回以降…

数学 #6 数列

問題:
次の□に入る数は何でしょう．
0, 2, 4, □, 8, …





正解:
答えは，“5”「とします」．とっても分かりやすい回答ですね．
不満がある，そんな方は下をどうぞ．





導出:
f(x)=(x⁴-7x³+14x²+4x)/6
という関数を用意して，
a_n=f(n)
とおけば，

a₀=0，a₁=2，a₂=4，a₃=5，a₄=8

となります．
本当の所，上の問題であれば，どんな数でも答えとなりえます．
f(0)=0，f(1)=2，f(2)=4，f(3)=r，f(4)=8
となる関数f(x)は必ず存在します．

「子供の数だけ答えがある」というか，子供の数より答えは多いです．探そうとしていないだけの事です．

結論:
問題を作る方も，解く方も注意しましょう．

専門書を読む #14

集合・位相入門
~p69

ちまちまと．

専門書を読む #13

集合・位相入門
~p65