数学 #16 ミルズの定理

ミルズの定理という過激な定理があったので御紹介．

Mills' Theorem -- from Wolfram MathWorld
httphttp://mathworld.wolfram.com/MillsTheorem.html

Mills' Constant -- from Wolfram MathWorld
http://mathworld.wolfram.com/MillsConstant.html

ミルズの定理(Mills' theorem)

すべての自然数nについて
[θ³ⁿ]
の値が素数になるようなθが存在する．

例えば，
θ=1.30637788386308069046861449260260571291678458515671364436805375996643405376682659882150140370119739570729+

実際には，θの精度を無限大にしなければ素数を得ることはできません．が，試しに上のθでどこまで素数が出るかやってみました．

θ³¹=2.229494772491595
θ³²=11.082031369896242
θ³³=1361.0000010797248
θ³⁴=2.5210088869999886E9
θ³⁵=1.6022236204009632E28
θ³⁶=4.113101149214954E84
θ³⁷=6.958380437695496E253
θ³⁸=Infinity
やはりバカでかい値になります，n=1~4までの値を切り下げると，

[θ³¹]=2
[θ³²]=11
[θ³³]=1361
[θ³⁴]=2521008886
n=4の場合が素数じゃないですが，実際の値は2521008887です．

色々と無理があったので，オンライン整数列大辞典(On-Line Encyclopedia of Integer Sequences)にて調べました．

On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
http://www.research.att.com/~njas/sequences/

[θ³¹]=2
[θ³²]=11
[θ³³]=1361
[θ³⁴]=2521008887
[θ³⁵]=16022236204009818131831320183
[θ³⁶]=4113101149215104800030529537915953170486139623539759933135949994882770404074832568499