2009年3月31日火曜日

カオス #13 畑政義写像

こんばんは.まだまだ,画像があります.


Fig.1
完璧な◆形.
a=0.75i
b=0.25
c=0.75i
d=0.25


Fig.2
大量の線です.
a=-0.75+0.25i
b=0.5i
c=0
d=-0.5+0.5i


Fig.3
少し拡大するとこんな感じ.

2009年3月28日土曜日

カオス #12 畑政義写像

こんばんは.画像がたまってきたので,ちまちま公開.


Fig.1
自己相似だと分かりやすく,セルオートマトンを思い出させる図形.
a=0
b=0.5+0.5i
c=0.5
d=0


Fig.2
地図記号みたいな.
a=0.25+0.5i
b=0.25
c=0.25+0.5i
d=0.25


Fig.3
こんなロゴ,どこかで見たことあるような…
a=0.5+0.5i
b=0.25+0.25i
c=0.5+0.5i
d=0.25+0.25i

2009年3月24日火曜日

カオス #11 畑政義写像

こんばんは.畑政義写像再び再び再び.この写像には無限の可能性を感じますね.
何となく似ている図形3つです.


Fig.1
ぐるぐると…
a=0.5-0.5i
b=0
c=-0.5-0.5i
d=0


Fig.2
歯車のような.
a=0.5-0.5i
b=0
c=-0.5+0.5i
d=0


Fig.3
Fig.2を回転させただけだったり…
a=0.5+0.5i
b=0
c=0.5+0.5i
d=0

2009年3月20日金曜日

カオス #10 畑政義写像

畑政義写像再び再び.パラメータを変えてみると,様々な図形が出来るものです.


Fig.1
いたる所自己相似.
a=0
b=1/√2i
c=0
d=-0.5


Fig.2
Fig.1の三角形版みたいな感じ.
a=0
b=0.5+0.5i
c=0
d=-0.5


Fig.3
二等辺三角形.見事な一様分布です.
a=0
b=0.5+0.5i
c=0
d=0.5-0.5i

2009年3月14日土曜日

カオス #9 IFS

こんばんは.今日は円周率の日です.
今回はIFSの一部を.
IFS(Iterated function system)は反復関数系のことで,フラクタルの一種です.
図的に言うならば,ある初期座標(x0, y0)に対し,関数系から無作為に
関数を選択し適用,この動作を反復して該当する座標にプロットしていきます.(畑政義写像も反復関数形に属するのかも知れないです.)

今回は,反復関数系の中から,2つ試してみます.

・シダ
初期座標を(x0=0, y0=0)とし,以下に示す4つの座標変換のうち一つを選択し,反復適用していきます.Pは選択される確率です.

xn+1=0
yn+1=0.16yn
P1=1%
xn+1=0.2xn-0.26yn
yn+1=0.23xn+0.22yn+1.6
P2=7%
xn+1=-0.15xn+0.28yn
yn+1=0.26xn+0.24yn+0.44
P3=7%
xn+1=0.85xn+0.04yn
yn+1=-0.04xn+0.85yn+1.6
P4=85%


Fig.1 Fern IFS

ついでに下の参考文献に載っていたように,選ばれた関数ごとに色付けしてみました.


Fig.2 Fern IFS(Color)

定数パラメータを変えると,違った“シダ”も見れるようです.

・アンモナイト
xn+1=-0.289993xn-0.001347yn+0.593333
yn+1=0.001986xn-0.196662yn-0.32
P1=0.06124
xn+1=-0.073058xn-0.024834yn+0.793333
yn+1=-0.006353xn+0.285589yn-0.056667
P2=0.022236
xn+1=0.939186xn-0.218787yn-0.046667
yn+1=0.214337xn+0.958685yn+0.01
P3=0.916524;


Fig.3 Ammonite IFS


Fig.4 Ammonite IFS
こちらの配色の方がいいかも.


Fig.5 Ammonite IFS(Color)

非常に綺麗な画像が生成されました.

参考文献

Wikipediaの執筆者たち.“反復関数系”.<http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8D%E5%BE%A9%E9%96%A2%E6%95%B0%E7%B3%BB>.Wikipedia.(参照2009年3月1日)

吉本稔.“Chaos Room”.<http://www.be.kagoshima-u.ac.jp/~yoshimoto-lab/makechaos.html>.吉本研究室.(参照2009年2月22日)

2009年3月11日水曜日

カオス #8 マンデルブロ集合2

マンデルブロ集合再び.

今回は
zn+1=znM+C
において,Mが小数(非整数),負数の時を見ていこうと思います.

・M:非整数
Mが非整数の時は,どうやってznM+Cを計算するかというと,zを極形式に変換します.

z=x+yi
=r*e
r=|z|=√(x*x+y*y)
θ=arg(z)=arctan(y, x)

こんな感じ,ということで,
zM
=rM*eiMθ
=rM*(isin(Mθ)+cos(Mθ))
となります.

では,下にMが非整数のときの結果を示します.


Fig.1 M=2.2


Fig.2 M=2.7

かなり半端な図形です.M=2からM=3までの途中段階という感じです.
さらに,Fig.1を拡大すると…


Fig.3 M=2.2 (zoom)

やっぱり半端です.

・M:負数
M=-1とすると,
z1=z0-1+C=0-1+C
となり,マズイので,z0=Cとして計算します.
znMは先程と同様に計算することが出来ます.
ただし,若干不正確な処があります.今までは,「発散した」という条件を
|z|2>4
という閾値で判断していました.しかし,逆数乗を繰り返す場合,発散しない場合でも,4を大きく上回る
値をとりながら振動してしまう場合がありました(正数乗の場合は閾値は4で良いらしいです).ここら辺の扱いはよく分からないので,ここでは不正確ながら閾値を16に設定してみます.


Fig.4 M=-1


Fig.5 M=-2


Fig.6 M=-3

(…参考文献とほとんど同じ配色なってしまいました…)
M>0の時とは全く雰囲気が違います.中央部が発散していて,中心から離れると発散しなくなります.

こんな処です.最後に動画を….
Mが0から-16に変化します.



参考文献
Paul Bourke.“Mandelbrot powers”.<http://local.wasp.uwa.edu.au/~pbourke/fractals/mandelpower/>.Paul Bourke - Personal Pages.(参照2009年3月7日)

2009年3月6日金曜日

カオス #7 GingerbreadMan

小ネタ.

Gingerbread man

Gingerbread manは

xn+1=1-yn+|xn|
yn+1=xn

を反復させ,(xn, yn)をプロットしていったものです.

ちなみにGingerbread manはジンジャークッキーを人の形に焼き上げたものです(参考文献参照).形が似ているから,この名前になったのでしょう

下にプロットした画像を示します.


Fig.1 Gingerbread man

非常にエッジがはっきりとしています.

少しばかりしてから分かったのですが,初期座標(x0, y0)によって,出来る図形は異なるようです.


Fig.2

これもまた,エッジははっきりしていますが,面白い形です.初期座標によって,これらと異なる図形が無数に生成されます.

参考文献
Wikipediaの執筆者たち.“ジンジャークッキー”.<http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B8%E3%83%B3%E3%82%B8%E3%83%A3%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%83%83%E3%82%AD%E3%83%BC>.Wikipedia.(参照2009年3月6日)

Paul Bourke.“Gingerbread man”.<http://local.wasp.uwa.edu.au/~pbourke/fractals/gingerbread/>.Paul Bourke - Personal Pages.(参照2009年3月6日)