2009年4月23日木曜日

カオス #18 Riddled Basin

こんばんは.本日はRiddled Basinについて.

xn+1=xn2-yn2-xn-λyn
yn+1=2xnyn-λxn+yn

zn+1=zn2-(1+λi)zn~

上に示した写像について考えます.以降,λ=1とします.

この写像には3つのアトラクターがあります(Fig.1).
x:[-1.8, 2.4]
y:[-2.4, 1.8]


Fig.1 Riddled Basin attractor

初期値z0=x0+y0iによって,発散,赤アトラクタに収束,緑アトラクタに収束,青アトラクタに収束,のどれかになります.アトラクタへ収束する速度に応じて色付け(速い方が白い)したものがFig.2です.


Fig.2 Riddled Basin

非常に入り組んだ構造を持っており,カオスな画像です.
このように入り組んでいるのをRiddled Basinというらしいです.

・おまけ


Fig.3 霜降り

赤のみで着色するとこの様になります.霜降り肉みたいです.あまり食べたい形ではないですが.

元ネタは下.

参考文献
金丸隆志.“リドル・ベイスン”.<http://brain.cc.kogakuin.ac.jp/~kanamaru/Chaos/RiddledBasin/>.金丸隆志のページ.(参照2009年4月9日)

2009年4月16日木曜日

カオス #17 ロジスティック写像

こんばんは.最近の投稿がすべて"カオス"でカオスですが,再びロジスティック写像です.今回は小ネタ.

・不変測度

不変測度は,かなりいい加減な説明をすると,xに対しf(x)を繰り返し適用していって,関数の値がどのくらいの割合で分布しているかみたいなものです.以前にも可視化したものを投稿しましたが.

ロジスティック写像f(x)=ax(1-x)に対しての不変測度は,例えばa=3.7の時は,下のようになります.


Fig.1

xの範囲は[0,1]です.

で,これを動画にしてみると,下の様になります.



この動画は,映像作品としてはあまり面白くないようです.ロジスティック写像マニアの方なら面白いかも知れませんが.
10分間じーっと見ていてくれた方はお疲れ様です.

・カントル集合

f(x)=ax(1-x)において,a>4の時は,ほとんどのxは-∞に発散します.発散しないxの集合をΛとした時,Λはカントル集合なのだそうです(詳しいことは省きます).で,aを変化させていき,xの発散速度に応じて色付けをしてみるとこんな感じになります.


Fig.2

aの範囲は[4,2+√5](下から上),xの範囲は[0,1]です.黒くになるにつれて,発散が遅いことを示します.黒い線がいくつか見えますが,これがΛに入るらしいです.

今回は1次元的な画像でしたので,あまり面白みがなかったかも知れません.

2009年4月11日土曜日

カオス #16 悪魔の階段

怪しいタイトルになってまいりました.フラクタルな要素があったりする,1変数の関数について.

・悪魔の階段

この関数は,ほとんど至る所でf'(x)=0なのに,f(0)≠f(1)です.こんな階段あったら欲しいですね.坂が無いのに,歩いていたらいつの間にか頂上に着いています.


Fig.1 Devil's staircase

・ワイエルシュトラス関数
ワイエルシュトラスが1875年に作ったもので,どこでも微分不可能な連続関数だそうです.


Exp.1 Weierstrass function


Fig.2 Weierstrass function(a=1/2, b=3)

・リーマン関数
この関数は1861年頃リーマンが考案したもので,連続だが,どこでも微分できないと考えました(実際にはx=πなどで微分可能でしたが).


Exp.2 Riemann function


Fig.3 Riemann function

・高木関数(ブラマンジェ曲線)

この関数は高木貞治が1903年の論文で,「連続だが至る所で微と分不可能な関数」として構成しました.
ブラマンジェとは洋菓子の一種です.この関数のグラフがブラマンジェに似ています.


Exp.3 Takagi function(Blancmange curve)


Fig.4 Takagi function(Blancmange curve)

これらの画像は壁紙にぴったりです.

参考文献

E.ハイラー,G.ヴァンナー.解析教程.東京.シュプリンガー.ジャパン,2007,280p.

2009年4月6日月曜日

カオス #15 畑政義写像

こんばんは.放出終了.


Fig.1
意表を突くシンプルさ.
a=0.5+0.5i
b=0.25+0.25i
c=0.5+0.5i
d=-0.5+0.5i


Fig.2
'e'あるいは'9'または'の'.
a=2/3-0.5i
b=0.2
c=-0.25+0.5i
d=0


Fig.3
雲のような,翼のような…
a=0.55-0.45i
b=0
c=0.8+0.2i
d=0


Fig.4
無題.
a=2/3-0.5i
b=0
c=-0.25+0.5i
d=0

結構な量の画像が出来ました.これらを使ってムービーを作れたらと思います.

2009年4月3日金曜日

カオス #14 畑政義写像

こんばんは.さらに連続投稿.


Fig.1
3本の足が大量に.
a=-0.25+0.5i
b=0
c=0
d=0.75


Fig.2
こっちも足が大量に.
a=0.5i
b=0
c=0
d=0.75


Fig.3
三角形分裂.
a=-0.5+0.5i
b=0
c=0
d=0.1i