物理 #3 衝突(3次元)

最終的には3次元．

球A:
位置:r₁=(x₁, y₁, z₁)T
衝突前速度:v₁=(v_1x, v_1y, v_1z)T
衝突後速度:v₁'=(v_1x', v_1y', v_1z')T
質量:m₁
反発係数:e₁

球B:
位置:r₂=(x₂, y₂, z₂)T
衝突前速度:v₂=(v_2x, v_2y, v_2z)T
衝突後速度:v₂'=(v_2x', v_2y', v_2z')T
質量:m₂
反発係数:e₂

重要なのは，正規直交基底の取り方ですが，
1つ目e₁は，r₂-r₁を正規化したもの，
2つ目e₂は，e₁に垂直になるようにし，
3つ目e₃は，e₁，e₂に垂直となるようにします．

具体的には，

e₁=(x, y, z)T
とします．次に
e₂として，
(0, z, -y)T/|e₂|
(y, -x, 0)T/|e₂|
の内，計算可能なものを選びます．
そして，
e₃=e₁×e₂
とします(“×”は外積)．

このようにすると，
e₁ - 1次元での衝突
e₂ - 速度は不変
e₃ - 速度は不変
となります．

あとは2次元の時と同様に

v₁=w_1xe₁+w_1ye₂+w_1ze₃
v₂=w_2xe₁+w_2ye₂+w_2ze₃

と表した時，

w_1x=v₁・e₁
w_1y=v₁・e₂
w_1z=v₁・e₃
w_2x=v₂・e₁
w_2y=v₂・e₂
w_2z=v₂・e₃

だから，

w_1x'=(m₁w_1x+m₂w_2x)/(m₁+m₂)+e(w_2x-w_1x)m₂/(m₁+m₂)
w_1y'=w_1y
w_1z'=w_1z
w_2x'=(m₁w_1x+m₂w_2x)/(m₁+m₂)+e(w_1x-w_2x)m₁/(m₁+m₂)
w_2y'=w_2y
w_2z'=w_2z

となり，

v_1x'=w_1x'e_1x+w_1y'e_2x+w_1z'e_3x
v_1y'=w_1x'e_1y+w_1y'e_2y+w_1z'e_3y
v_1z'=w_1x'e_1z+w_1y'e_2z+w_1z'e_3z
v_2x'=w_2x'e_1x+w_2y'e_2x+w_2z'e_3x
v_2y'=w_2x'e_1y+w_2y'e_2y+w_2z'e_3y
v_2z'=w_2x'e_1z+w_2y'e_2z+w_2z'e_3z

衝突条件は勿論，

(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²+(z₂-z₁)²≦(r₁+r₂)²

(rはそれぞれの球の半径です)

これで終わりです．4次元，5次元と拡張する場合は，基底の取り方に注意すれば後は同じです．



シミューレーションすると，これもまた感動です．

物理 #2 衝突(2次元)

今回は，2次元の衝突です．

球A:
位置:r₁=(x₁, y₁)T
衝突前速度:v₁=(v_1x, v_1y)T
衝突後速度:v₁'=(v_1x', v_1y')T
質量:m₁
反発係数:e₁

球B:
位置:r₂=(x₂, y₂)T
衝突前速度:v₂=(v_2x, v_2y)T
衝突後速度:v₂'=(v_2x', v_2y')T
質量:m₂
反発係数:e₂

表記の都合上，半径:rは省略します．
また，
v=(v_x, v_y)T=v_xe₁+v_ye₂
とします．
e₁, e₂はそれぞれ，正規直交基底で，
e₁=(1, 0)T, e₂=(0, 1)T
です．

さて，この2つの球が衝突したとしましょう．どうなるでしょうか?
1次元の場合は，簡単に考える事が出来ましたが，2次元となると一筋縄ではいきません．
以下をご覧あれ．


Fig.1 Collision

衝突した瞬間の図です．ここで，
r=r₂-r₁
というベクトルをとったとしましょう．そして，rに垂直(=球2つの接線)なベクトルをとります．
この2つのベクトルを正規化したものをそれぞれ，
e₁'=(e_1x', e_1y')T
e₂'=(e_2x', e_2y')T
と表すことにします．
この時，e₁', e₂'は正規直交基底となります．
この基底上で考えると，e₁'では，1次元空間の単純な衝突，e₂'上では，速度の変動は全く無い，という事が出来ます．

というわけで，v₁, v₂を先の基底で表してみましょう．

v₁=w_1xe₁'+w_1ye₂'
v₂=w_2xe₁'+w_2ye₂'
とします．このときwは，以下の様に計算します．

w_1x=v₁・e₁'
w_1y=v₁・e₂'
w_2x=v₂・e₁'
w_2y=v₂・e₂'

wに関して衝突後の値をw'で表します．この時，
w_1y', w_2y'
は，衝突前に等しいので(前述)，
w_1x', w_2x'
を求めればよいのです．

とはいえ，これは，1次元ヴァージョンの帰結に相違無いので，

w_1x'=(m₁w_1x+m₂w_2x)/(m₁+m₂)+e(w_2x-w_1x)m₂/(m₁+m₂)
w_1y'=w_1y
w_2x'=(m₁w_1x+m₂w_2x)/(m₁+m₂)+e(w_1x-w_2x)m₁/(m₁+m₂)
w_2y'=w_2y

となります．
あとは，元の基底で表すだけです．そのためには，
v₁'=w_1x'e₁'+w_1y'e₂'
に，そのまま代入すればよいので，
v_1x'=w_1x'e_1x'+w_1y'e_2x'
v_1y'=w_1x'e_1y'+w_1y'e_2y'
v_2x'=w_2x'e_1x'+w_2y'e_2x'
v_2y'=w_2x'e_1y'+w_2y'e_2y'

というわけで，求める事が出来ました．

実際にシミュレーションしてみると，当たり前の動きをするのですが，感動を覚えます．

物理 #1 衝突

2つの物体が衝突と如何なるでしょう．

1.古典物理学に従って，その後の運動が決まる．
2.陽子崩壊
3.宇宙ヤバイ

今回は，1.の様になる事を期待します．
2つの物体を球A，Bとします．球A，Bはそれぞれ，

球A:
位置:x₁
衝突前速度:v₁
衝突後速度:v₁'
質量:m₁
半径:r₁
反発係数:e₁

球B:
位置:x₂
衝突前速度:v₂
衝突後速度:v₂'
質量:m₂
半径:r₂
反発係数:e₂

としましょう．未知数は衝突後速度v₁'，v₂'のみです．これらを計算によって求めてみましょう．

※反発係数
反発係数というのは，2つの物体の衝突前後の相対速度の比のことで，
e=-(v₂'-v₁')/(v₂-v₁)
(0≦e≦1)
で与えられます．

まず，球Aと，球Bが衝突した時の相対速度の比は，常識的に申し上げて，
e=e₁e₂
となります．とすると，
v₂'=v₁'-e(v₂-v₁)
このように変形出来ます．

質量保存の法則
m₁v₁+m₂v₂=m₁v₁'+m₂v₂'
に，先程計算したv₂'を代入すると，v₂'が消え，未知数はv₁'のみになります．

即ち，
v₁'=(m₁v₁+m₂v₂)/(m₁+m₂)+e(v₂-v₁)m₂/(m₁+m₂)
同様に，
v₂'=(m₁v₁+m₂v₂)/(m₁+m₂)+e(v₁-v₂)m₁/(m₁+m₂)

ということで，衝突後速度が求められました．

最後に衝突条件を．
|x₂-x₁|≦r₁+r₂

衝突した際に，双方の球がめり込んでいる，というような場合は，衝突条件から外れるまで双方に衝突後速度を加えるとよいです．

これを，2次元に拡張する事も出来ますが，それは次回以降…