J #2 q:

Jには，素因数分解を行ってくれる素晴らしい動詞があります．

q: Prime Factors / Prime Exponents

こんな感じ

   q: 700
2 2 5 5 7
   2 q: 700
2 0
   10 q: 700
2 0 2 1 0 0 0 0 0 0
   _ q: 700
2 0 2 1
   __ q: 700
2 5 7
2 2 1

・q: 700
700の約数を並べたものをアレイとして返します(700=2²5²7¹)．
・2 q: 700
700 = Π_k p_k^r_k(p_kはk番目の素数)としたとき，r_kを2個並べたものを返します．10 q: 700も同様です．
・_ q: 700
上のr_kを必要最低限だけ並べたものを返します．上の例でr_iは，2 0 2 1 0 0 0 0 …であり，2 0 2 1以降は全て0となるため，2 0 2 1となります．
・__ q: 700
r_k≠0であるp_kとr_kを並べたテーブルを返します．

動詞q:を使うと，オイラーのφ関数を簡潔に記述することができます．

φ(n)は，1~nまでの自然数に対しnと互いに素なものの個数を表し，
n = Π_k p_k^r_k
としたとき(p_kはk番目の素数)，
φ(n) = n Π_k (1 - 1/p_k)
が成立します．

Euler’s totient function(オイラーのφ関数)

   totient=: * -.@%@~.&.q:
   totient 700
240

まず，totientを構成する動詞，副詞について説明します．

定義
x y
(動詞への)引数
m n
名詞
u v
動詞
f g h
動詞

動詞
x * y
x*y
Times
乗算(二項演算)
-. y
1-y
Complement
補数(単項演算)
% y
1/y
Reciprocal
逆数(単項演算)
~. y
-
Nub
重複要素削除(単項演算)
q: y
-
Prime Factors
素因数分解(単項演算)

副詞
@
u@v y ⇔ u v y
Atop
&.
u&.v y ⇔ vi u v y (viはvの逆演算)
Under

これより，

-.@%@~.

は，(厳密には演算の順序が)以下のようになります．

-. % ~.

また，

-.@%@~.&.q: y

は，以下のようになります．

q:の逆演算 -. % ~. q: y

結果として，

(* -.@%@~.&.q:) y

は，(Hookが適用され)以下のようになります．

y * (q:の逆演算 -. % ~. q:) y

実際に順を追ってみていきましょう．
y=700とすると，
1. q:でyを素因数分解．
2 2 5 5 7
2. ~.で重複要素を削除．
2 5 7
3. %でそれぞれの要素について逆数をとる．
0.5 0.2 0.142857
4. -.で補数をとる．
0.5 0.8 0.857143
5. q:の逆演算を適用．q:の逆演算は(多分)アレイの要素全てを掛け合わせたものです．
0.342857
ここまでで，(q:の逆演算 -. % ~. q:) yが計算できました．Π_k (1-1/p_k)と同じ計算をしているのが分かるでしょうか?
6. y=700 に ((q:の逆演算 -. % ~. q:) y)=0.342857をかける．
240

というわけで．Jであらわしたφ関数は，
φ(n) = n Π_k (1-1/p_k)
を忠実に計算していたのです．

まだJを始めて間もないですので，間違いがありましたら指摘して下さると助かります．