カオス #1 エノン写像

近頃，カオス理論に興味を持っています．理論は非常に難しいですが，それらを可視化した画像が非常に綺麗ですので，それらをちょこちょこっと紹介しようと思います．

エノン写像(Hénon map)
エノン写像とは，フランスの天文学者Hénonが考案したモデルで，次の式で定義される写像です．

x(t+1)=1-ax(t)^2+by(t)
y(t+1)=x(t)

手計算でも，コンピュータでも計算できる写像です．
で，下の図がa=1.4，b=0.3とした時のアトラクターです．


Fig.1 Hénon attractor(a=1.4, b=0.3)

アトラクター(attractor)とは，「力学系が十分長い時間を経た後に発展する集合」です．雑に言うと，ある初期値x(0)，y(0)から，x(t)，y(t)をどんどん計算していき，その時の(x(t), y(t))をプロットしたものです(実際には初期値から1000回程度計算させ，それ以降の(x, y)をプロットしています)．写像を適用していった時の軌道みたいなものです．

このエノン写像．特徴は以下のとおりです(勿論，ここに挙げたものはほんの一部です)．

・初期値x(0)，y(0)を変化させても，アトラクターはほとんど変化しない．
・パラメータa，bにより，アトラクターは大きく変化する．
・自己相似性(フラクタル)をもつ．

上の図では，太い曲線があるように見えますが，実際は無数の曲線で構成されています．理論的にはどれだけ拡大しても，無限に曲線が見えますが，計算時間が有限ですので，途中で消えてしまいます．

最後に，少しずつパラメータを変えていくことにより，生成されるアトラクタのアニメーションを．



今回はこんな処で．