カオス #17 ロジスティック写像

こんばんは．最近の投稿がすべて"カオス"でカオスですが，再びロジスティック写像です．今回は小ネタ．

・不変測度

不変測度は，かなりいい加減な説明をすると，xに対しf(x)を繰り返し適用していって，関数の値がどのくらいの割合で分布しているかみたいなものです．以前にも可視化したものを投稿しましたが．

ロジスティック写像f(x)=ax(1-x)に対しての不変測度は，例えばa=3.7の時は，下のようになります．


Fig.1

xの範囲は[0,1]です．

で，これを動画にしてみると，下の様になります．



この動画は，映像作品としてはあまり面白くないようです．ロジスティック写像マニアの方なら面白いかも知れませんが．
10分間じーっと見ていてくれた方はお疲れ様です．

・カントル集合

f(x)=ax(1-x)において，a>4の時は，ほとんどのxは-∞に発散します．発散しないxの集合をΛとした時，Λはカントル集合なのだそうです(詳しいことは省きます)．で，aを変化させていき，xの発散速度に応じて色付けをしてみるとこんな感じになります．


Fig.2

aの範囲は[4,2+√5](下から上)，xの範囲は[0,1]です．黒くになるにつれて，発散が遅いことを示します．黒い線がいくつか見えますが，これがΛに入るらしいです．

今回は1次元的な画像でしたので，あまり面白みがなかったかも知れません．