カオス #16 悪魔の階段

怪しいタイトルになってまいりました．フラクタルな要素があったりする，1変数の関数について．

・悪魔の階段

この関数は，ほとんど至る所でf'(x)=0なのに，f(0)≠f(1)です．こんな階段あったら欲しいですね．坂が無いのに，歩いていたらいつの間にか頂上に着いています．


Fig.1 Devil's staircase

・ワイエルシュトラス関数
ワイエルシュトラスが1875年に作ったもので，どこでも微分不可能な連続関数だそうです．


Exp.1 Weierstrass function


Fig.2 Weierstrass function(a=1/2, b=3)

・リーマン関数
この関数は1861年頃リーマンが考案したもので，連続だが，どこでも微分できないと考えました(実際にはx=πなどで微分可能でしたが)．


Exp.2 Riemann function


Fig.3 Riemann function

・高木関数(ブラマンジェ曲線)

この関数は高木貞治が1903年の論文で，「連続だが至る所で微と分不可能な関数」として構成しました．
ブラマンジェとは洋菓子の一種です．この関数のグラフがブラマンジェに似ています．


Exp.3 Takagi function(Blancmange curve)


Fig.4 Takagi function(Blancmange curve)

これらの画像は壁紙にぴったりです．

参考文献

E．ハイラー，G．ヴァンナー．解析教程．東京．シュプリンガー．ジャパン，2007，280p．