カオス #26 馬蹄写像

楽しい写像の御提供．

馬蹄写像

馬蹄写像は下のような2変数写像です．固定された数式では無いので，定義域，値域をそれぞれ図示しています．


Fig.1 馬蹄写像
2つの半円D1,D2と正方形Sが定義域です．図では赤のチェックの領域です(一部隠れています)．
馬蹄写像を定義域全体に対して適用すると，定義域を折り曲げたような形になります．図では青のチェックの領域分です．この値域の形が馬蹄に似ているから馬蹄写像と呼ぶのです．

この写像を2回適用するとFig.2のようになります．


Fig.2

3回適用．


Fig.3

繰り返すと倍々に折り重なっていくのが分かります．また，D1，D2内に入った点は以後そこから出られなくなります(D1内の点はD1内へ，D2内の点はD2内へ写像するから)．そして最終的にD1，D2内に入る点は到る所無数にあるので，初期値の極僅かな差によって最終的な挙動が全く変わります．ロジスティック写像の2次元版みたいな感じです．

疑似コードはこんな感じ．上にも書いた通り，固定された数式ではないので，別にこのような定義でなくともかまいません．

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1. horseshoe(x, y)  
2.   if(-1/2≦x≦1/2 && -1/2≦y≦1/2) # Sに含まれる  
3.     if(-1/2≦x≦-1/8)  
4.       u=map(x, -1/2, -1/8, -5/8, 1/2)  
5.       v=map(y, -1/2, 1/2, 1/8, 3/8)  
6.     else if(1/8≦x≦1/2)  
7.       u=map(x, 1/8, 1/2, 1/2, -5/8)  
8.       v=map(y, -1/2, 1/2, -1/8, -3/8)  
9.     else # -1/8≦x≦1/8 Uの字に曲がる所  
10.       r=map(y, -1/2, 1/2, 1/8, 3/8)  
11.       d=map(x, -1/8, 1/8, π/2, -π/2)  
12.       u=r・cos(d)+1/2  
13.       v=r・sin(d)  
14.     return (u, v)  
15.   else if(dist(-1/2, 0, x, y)≦1/2) # D1に含まれる  
16.     u=map(x, -1, -1/2, -3/4, -5/8)  
17.     v=map(y, -1/2, 1/2, 1/8, 3/8)  
18.     return (u, v)  
19.   else if(dist(1/2, 0, x, y)≦1/2) # D2に含まれる  
20.     u=map(x, 1/2, 1, -5/8, -3/4)  
21.     v=map(y, -1/2, 1/2, -1/8, -3/8)  
22.     return (u, v)  
23.   else # 定義域外  
24.     return null  
25.   
26. map(value, low1, high1, low2, high2)  
27.   return (value-low1)(high2-low2)/(high1-low1)+low2;  
28.   
29. dist(x1, y1, x2, y2)  
30.   return sqrt(sq(x2-x1)+sq(y2-y1))  

horseshoe(x, y)
  if(-1/2≦x≦1/2 && -1/2≦y≦1/2) # Sに含まれる
    if(-1/2≦x≦-1/8)
      u=map(x, -1/2, -1/8, -5/8, 1/2)
      v=map(y, -1/2, 1/2, 1/8, 3/8)
    else if(1/8≦x≦1/2)
      u=map(x, 1/8, 1/2, 1/2, -5/8)
      v=map(y, -1/2, 1/2, -1/8, -3/8)
    else # -1/8≦x≦1/8 Uの字に曲がる所
      r=map(y, -1/2, 1/2, 1/8, 3/8)
      d=map(x, -1/8, 1/8, π/2, -π/2)
      u=r・cos(d)+1/2
      v=r・sin(d)
    return (u, v)
  else if(dist(-1/2, 0, x, y)≦1/2) # D1に含まれる
    u=map(x, -1, -1/2, -3/4, -5/8)
    v=map(y, -1/2, 1/2, 1/8, 3/8)
    return (u, v)
  else if(dist(1/2, 0, x, y)≦1/2) # D2に含まれる
    u=map(x, 1/2, 1, -5/8, -3/4)
    v=map(y, -1/2, 1/2, -1/8, -3/8)
    return (u, v)
  else # 定義域外
    return null

map(value, low1, high1, low2, high2)
  return (value-low1)(high2-low2)/(high1-low1)+low2;

dist(x1, y1, x2, y2)
  return sqrt(sq(x2-x1)+sq(y2-y1))

写像する様子を映像化するとこんな感じ(イメージです)．