数学 #11 数値解析 #4 台形則

数値計算ネタ．

積分の近似計算です．今回も対象として，フレネル積分を用います．
しかし，計算方法が違います．今回は台形則という方法を使います．


参考までにフレネル積分(sin版)．


台形則

式はこんな感じです．



式だけだと意味不明なので，図をFig.1に示します．


Fig.1 trapezoid

赤線:y=sin(x²)
青い台形一つの面積:h/2(f(xⁱ)+f(xⁱ⁺¹)

台形のパラメタは以下の様に対応．Fig.1ではh=0.25です．
上底:f(xⁱ)
下底:f(xⁱ⁺¹
高さ:h=x軸の刻み幅
ですので，青い台形の面積の総和をとる式を構成すると，始めに示した式が出来上がります．

また，h(刻み幅)が小さければ小さいほど，計算の精度が上がる事も分かると思います(台形がどんどん細くなり誤差が減っていく)．例えば，h=1/16の時はFig.2のようになります．青の面積を全て足し合わせたものが近似値なので，精度が高くなる事が納得できると思います．


Fig.2

実際にFig.1のパラメタで計算したのがFig.3．


Fig.3
0≦x≦8
h=1/4
刻み幅が大きいので，かなりがたついています(ただ，前回の様に発散してはいません)．

hを小さくすると(Fig.2と同じ)Fig.4のような感じ．


Fig.4
0≦x≦8
h=1/16

非常に滑らかになり，精度が大幅に向上しています．