物理 #2 衝突(2次元)

今回は，2次元の衝突です．

球A:
位置:r₁=(x₁, y₁)T
衝突前速度:v₁=(v_1x, v_1y)T
衝突後速度:v₁'=(v_1x', v_1y')T
質量:m₁
反発係数:e₁

球B:
位置:r₂=(x₂, y₂)T
衝突前速度:v₂=(v_2x, v_2y)T
衝突後速度:v₂'=(v_2x', v_2y')T
質量:m₂
反発係数:e₂

表記の都合上，半径:rは省略します．
また，
v=(v_x, v_y)T=v_xe₁+v_ye₂
とします．
e₁, e₂はそれぞれ，正規直交基底で，
e₁=(1, 0)T, e₂=(0, 1)T
です．

さて，この2つの球が衝突したとしましょう．どうなるでしょうか?
1次元の場合は，簡単に考える事が出来ましたが，2次元となると一筋縄ではいきません．
以下をご覧あれ．


Fig.1 Collision

衝突した瞬間の図です．ここで，
r=r₂-r₁
というベクトルをとったとしましょう．そして，rに垂直(=球2つの接線)なベクトルをとります．
この2つのベクトルを正規化したものをそれぞれ，
e₁'=(e_1x', e_1y')T
e₂'=(e_2x', e_2y')T
と表すことにします．
この時，e₁', e₂'は正規直交基底となります．
この基底上で考えると，e₁'では，1次元空間の単純な衝突，e₂'上では，速度の変動は全く無い，という事が出来ます．

というわけで，v₁, v₂を先の基底で表してみましょう．

v₁=w_1xe₁'+w_1ye₂'
v₂=w_2xe₁'+w_2ye₂'
とします．このときwは，以下の様に計算します．

w_1x=v₁・e₁'
w_1y=v₁・e₂'
w_2x=v₂・e₁'
w_2y=v₂・e₂'

wに関して衝突後の値をw'で表します．この時，
w_1y', w_2y'
は，衝突前に等しいので(前述)，
w_1x', w_2x'
を求めればよいのです．

とはいえ，これは，1次元ヴァージョンの帰結に相違無いので，

w_1x'=(m₁w_1x+m₂w_2x)/(m₁+m₂)+e(w_2x-w_1x)m₂/(m₁+m₂)
w_1y'=w_1y
w_2x'=(m₁w_1x+m₂w_2x)/(m₁+m₂)+e(w_1x-w_2x)m₁/(m₁+m₂)
w_2y'=w_2y

となります．
あとは，元の基底で表すだけです．そのためには，
v₁'=w_1x'e₁'+w_1y'e₂'
に，そのまま代入すればよいので，
v_1x'=w_1x'e_1x'+w_1y'e_2x'
v_1y'=w_1x'e_1y'+w_1y'e_2y'
v_2x'=w_2x'e_1x'+w_2y'e_2x'
v_2y'=w_2x'e_1y'+w_2y'e_2y'

というわけで，求める事が出来ました．

実際にシミュレーションしてみると，当たり前の動きをするのですが，感動を覚えます．