物理 #3 衝突(3次元)

最終的には3次元．

球A:
位置:r₁=(x₁, y₁, z₁)T
衝突前速度:v₁=(v_1x, v_1y, v_1z)T
衝突後速度:v₁'=(v_1x', v_1y', v_1z')T
質量:m₁
反発係数:e₁

球B:
位置:r₂=(x₂, y₂, z₂)T
衝突前速度:v₂=(v_2x, v_2y, v_2z)T
衝突後速度:v₂'=(v_2x', v_2y', v_2z')T
質量:m₂
反発係数:e₂

重要なのは，正規直交基底の取り方ですが，
1つ目e₁は，r₂-r₁を正規化したもの，
2つ目e₂は，e₁に垂直になるようにし，
3つ目e₃は，e₁，e₂に垂直となるようにします．

具体的には，

e₁=(x, y, z)T
とします．次に
e₂として，
(0, z, -y)T/|e₂|
(y, -x, 0)T/|e₂|
の内，計算可能なものを選びます．
そして，
e₃=e₁×e₂
とします(“×”は外積)．

このようにすると，
e₁ - 1次元での衝突
e₂ - 速度は不変
e₃ - 速度は不変
となります．

あとは2次元の時と同様に

v₁=w_1xe₁+w_1ye₂+w_1ze₃
v₂=w_2xe₁+w_2ye₂+w_2ze₃

と表した時，

w_1x=v₁・e₁
w_1y=v₁・e₂
w_1z=v₁・e₃
w_2x=v₂・e₁
w_2y=v₂・e₂
w_2z=v₂・e₃

だから，

w_1x'=(m₁w_1x+m₂w_2x)/(m₁+m₂)+e(w_2x-w_1x)m₂/(m₁+m₂)
w_1y'=w_1y
w_1z'=w_1z
w_2x'=(m₁w_1x+m₂w_2x)/(m₁+m₂)+e(w_1x-w_2x)m₁/(m₁+m₂)
w_2y'=w_2y
w_2z'=w_2z

となり，

v_1x'=w_1x'e_1x+w_1y'e_2x+w_1z'e_3x
v_1y'=w_1x'e_1y+w_1y'e_2y+w_1z'e_3y
v_1z'=w_1x'e_1z+w_1y'e_2z+w_1z'e_3z
v_2x'=w_2x'e_1x+w_2y'e_2x+w_2z'e_3x
v_2y'=w_2x'e_1y+w_2y'e_2y+w_2z'e_3y
v_2z'=w_2x'e_1z+w_2y'e_2z+w_2z'e_3z

衝突条件は勿論，

(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²+(z₂-z₁)²≦(r₁+r₂)²

(rはそれぞれの球の半径です)

これで終わりです．4次元，5次元と拡張する場合は，基底の取り方に注意すれば後は同じです．



シミューレーションすると，これもまた感動です．