カオス #8 マンデルブロ集合2

マンデルブロ集合再び．

今回は
z_n+1=z_n^M+C
において，Mが小数(非整数)，負数の時を見ていこうと思います．

・M:非整数
Mが非整数の時は，どうやってz_n^M+Cを計算するかというと，zを極形式に変換します．

z=x+yi
=r*e^iθ
r=|z|=√(x*x+y*y)
θ=arg(z)=arctan(y, x)

こんな感じ，ということで，
z^M
=r^M*e^iMθ
=r^M*(isin(Mθ)+cos(Mθ))
となります．

では，下にMが非整数のときの結果を示します．


Fig.1 M=2.2


Fig.2 M=2.7

かなり半端な図形です．M=2からM=3までの途中段階という感じです．
さらに，Fig.1を拡大すると…


Fig.3 M=2.2 (zoom)

やっぱり半端です．

・M:負数
M=-1とすると，
z₁=z₀^-1+C=0^-1+C
となり，マズイので，z₀=Cとして計算します．
z_n^Mは先程と同様に計算することが出来ます．
ただし，若干不正確な処があります．今までは，「発散した」という条件を
|z|²>4
という閾値で判断していました．しかし，逆数乗を繰り返す場合，発散しない場合でも，4を大きく上回る
値をとりながら振動してしまう場合がありました(正数乗の場合は閾値は4で良いらしいです)．ここら辺の扱いはよく分からないので，ここでは不正確ながら閾値を16に設定してみます．


Fig.4 M=-1


Fig.5 M=-2


Fig.6 M=-3

（…参考文献とほとんど同じ配色なってしまいました…）
M>0の時とは全く雰囲気が違います．中央部が発散していて，中心から離れると発散しなくなります．

こんな処です．最後に動画を…．
Mが0から-16に変化します．



参考文献
Paul Bourke．“Mandelbrot powers”．＜http://local.wasp.uwa.edu.au/~pbourke/fractals/mandelpower/＞．Paul Bourke - Personal Pages．（参照2009年3月7日）