カオス #9 IFS

こんばんは．今日は円周率の日です．
今回はIFSの一部を．
IFS(Iterated function system)は反復関数系のことで，フラクタルの一種です．
図的に言うならば，ある初期座標(x₀, y₀)に対し，関数系から無作為に
関数を選択し適用，この動作を反復して該当する座標にプロットしていきます．(畑政義写像も反復関数形に属するのかも知れないです．)

今回は，反復関数系の中から，2つ試してみます．

・シダ
初期座標を(x₀=0, y₀=0)とし，以下に示す4つの座標変換のうち一つを選択し，反復適用していきます．Pは選択される確率です．

x_n+1=0
y_n+1=0.16y_n
P₁=1%
x_n+1=0.2x_n-0.26y_n
y_n+1=0.23x_n+0.22y_n+1.6
P₂=7%
x_n+1=-0.15x_n+0.28y_n
y_n+1=0.26x_n+0.24y_n+0.44
P₃=7%
x_n+1=0.85x_n+0.04y_n
y_n+1=-0.04x_n+0.85y_n+1.6
P₄=85%


Fig.1 Fern IFS

ついでに下の参考文献に載っていたように，選ばれた関数ごとに色付けしてみました．


Fig.2 Fern IFS(Color)

定数パラメータを変えると，違った“シダ”も見れるようです．

・アンモナイト
x_n+1=-0.289993x_n-0.001347y_n+0.593333
y_n+1=0.001986x_n-0.196662y_n-0.32
P₁=0.06124
x_n+1=-0.073058x_n-0.024834y_n+0.793333
y_n+1=-0.006353x_n+0.285589y_n-0.056667
P₂=0.022236
x_n+1=0.939186x_n-0.218787y_n-0.046667
y_n+1=0.214337x_n+0.958685y_n+0.01
P₃=0.916524;


Fig.3 Ammonite IFS


Fig.4 Ammonite IFS
こちらの配色の方がいいかも．


Fig.5 Ammonite IFS(Color)

非常に綺麗な画像が生成されました．

参考文献

Wikipediaの執筆者たち．“反復関数系”．＜http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8D%E5%BE%A9%E9%96%A2%E6%95%B0%E7%B3%BB＞．Wikipedia．（参照2009年3月1日）

吉本稔．“Chaos Room”．＜http://www.be.kagoshima-u.ac.jp/~yoshimoto-lab/makechaos.html＞．吉本研究室．（参照2009年2月22日）