数学 #7 数値解析 #2 積分の近似計算

今回は，積分の近似計算について．

フレネル積分

フレネル積分は以下のように定義されています．





残念なことに，この積分は初等関数で表すことは出来ないようです．
というわけで近似計算．





↑では，
1.三角関数をマクローリン展開
2.項毎に積分
を行い，無限級数の形で解を出しています．

では，この級数のグラフを示しましょう．


Fig.1 Fresnel(cos)


Fig.2 Fresnel(sin)

第n項までの和のグラフを表示しています(nは1から40近くまで取ってあります)．
この級数展開の問題は，tを大きくすると，より多くの項を計算に入れないといけないという点にあります．
実際，nを大きく取っても，tの値を大きくすると直ぐに発散してしまいます．


Fig.3 Fresnel

x(t)とy(t)をxy平面にプロットすると，上のような螺旋模様が描かれます．


Fig.4

発散した時の図，アヴァンギャルドな感じが楽しめます．．

先に述べた問題が発生しない，他の近似計算法も沢山あるのですが，それは次回以降…