数学 #12 数値解析 #5 van der Pol方程式

van der Pol方程式

van der Pol方程式とは，次の微分方程式です．

y''+ε(y²-1)y'+y=0

Wikipediaより，
「ファン・デル・ポール振動子とは、非線形の減衰を受けた非保存系の振動子である。」
だそうです．

今回はこれを解いてみましょう．

数値計算で求める場合，色々な手法がありますが，ここでは，
v=y'
とおき，

y'=v
v'=ε(1-y²)v-y

とすることで，2変数にしてみましょう．
さらに数値計算手法として，3次のテイラー級数を用いてみます．
即ち，

y_n+1=y_n+hy'_n+(h²/2)y''_n+(h³/6)y'''_n
v_n+1=v_n+hv'_n+(h²/2)v''_n+(h³/6)v'''_n

y'=vやy''=v'は上にありますし，v''=y'''やv'''は気合で求められます(少しのdと公式 そして私はあなたと微分を覚えた)．

初期条件の設定
基本的に，数値計算で微分方程式を解くときは初期条件が必要です．
具体的には最初に
y₀と，v₀=y'₀
を決めれば良いのです．

実際の計算例

以下のグラフでは，横軸にy，縦軸にv=y'をとっています．
Fig.1にベクトル場((y, v)での傾き)，Fig.2に数値計算で求めた解を示します．


Fig.1


Fig.2

パラメータ:
ε=0.3
h(刻み幅)=0.01
初期値
赤(y₀, v₀)=(2.00092238555422, 0)
青(y₀, v₀)=(0.5, 0)
緑(y₀, v₀)=(2.5, -2.5)

さて，計算結果から以下の事が分かります．
赤の軌道…周期解になっている(以後ずっと回り続ける)．
青の軌道…閉曲線(赤軌道)の“内側”を初期値としているが，赤軌道に落ち込んでいる．
緑の軌道…閉曲線(赤軌道)の“外側”を初期値としているが，赤軌道に落ち込んでいる．

このようにvan der Pol方程式の解は，十分な時間が経つとこの閉曲線上(赤軌道)を回っている点の運動とすることが出来ます．このようなattractorを“limit cycle”というようです．

今回で使った3次のテーラー級数では，刻み幅hを大きくし過ぎると，発散してしまうようなので注意．