カオス #3 畑政義写像

今回は，畑政義写像です．最近知りました．

畑政義写像
この写像は，以下の写像で定義されています．
f1(z)=az+bz~
f2(z)=c(z-1)+d(z~-1)+1
(z=x+yi => z~=x-yi)

この写像に対して適当な初期値z₀をとり，
z_n+1=f1(z_n), f2(z_n)
を計算していきます．

f1,f2はぱっと見は割と簡単な写像ですが，組み合わせることにより，非常に複雑になるようです．

実際に計算し，z=x+yiをプロットしたものを以下に示します．単にプロットしただけでは，あまり面白みがないので，密度による色付けをしました．


Fig.1 a=0.7+0.2i，b=0.0，c=0.0，d=2/3，z₀=1.0

葉っぱみたいです．下の参考文献を参考にしたのですが，予想以上に綺麗なものが出来ました．


Fig.2 a=0.0，b=0.45+0.5i，c=0.0，d=0.45-0.5i，z₀=1.0

面白い幾何学模様です．この図形の次元は約1.736だそうです(参考文献参照)．

パラメータが非常に多いので，色々模索する価値がありそうです．

参考文献
芹沢 浩．“2．畑政義の写像によるフラクタル図形”．＜http://www001.upp.so-net.ne.jp/seri-cf/gallery/f09.html内＞．カオス＆フラクタル紀行．（参照2009年2月19日）