カオス #2 ロジスティック写像

こんばんは，今回もまた，カオス．あの有名な写像について．

ロジスティック写像(logistic map)
ロジスティック写像は，

X_n+1=a*X_n*(1-X_n) 0<=a<=4, 0<=X₀<=1

で表される写像です．
これまた簡単な2次式です．

もともと，ロジスティック方程式という微分方程式がありました．

dN/dt=r(K-N)N
ロジスティック方程式

N - 個体数
r - 相対内的増加率
K - 環境収容力

この方程式は，個体群生態学において，個体群成長のモデルとして考案された微分方程式で，次のような性質を持ちます．

・個体数N=0では，増加率は0．
・個体数が増加するにつれて，増加率は減少する．
・環境の収納可能個体数には限界があるので，N=Kの時，増加率は0．

で，この微分方程式を解くと，

N=K/(1+exp(rK(t₀-t)))

となります(t0は初期値)．ちなみの上の解は，N→0(t→-∞)，N→K(t→∞)となります．

というわけで，微分方程式の時はわけもなく解くことができました．

しかし，これを差分方程式にすると，途端に難しくなります．
ロジスティック写像の振る舞いは，aによって，次のようになります．

0<=a<=1
X_nは0へ単調収束．
1<a<=2
X_nは(a-1)/aへ単調収束．
2<a<=3
X_nは(a-1)/aへ振動しながら収束．
3<a<=3.5699456
X_nは2のべき乗個の周期点を振動．
3.5699456<a<=4
X_nは不規則で，特定の周期をもたない(カオス領域)．
ただし，X_nが周期的になる領域が存在(周期性の窓)．

文章や式だけでは，さっぱり分からんので，可視化しましょう．

下に示す分岐図は，縦軸にX_n，横軸にaを取った時，(a, X_n)をプロットしたものです．


Fig.1 ロジスティック写像の分岐図(0<=a<=4，0<=X_n<=1)

aが3.5699456(ファイゲンバウム点といいます)を超えたあたりから，カオスな事になっていきます．
このカオス領域では，初期値X₀がほんのわずか異なっただけで，将来の値X_nは大きく変わってしまいます．この写像にこれ以上深入りするのは止めにしておきましょう．

ところで，Fig.1はあまり綺麗ではありません．画像が全体的に滑らかでないです．ちょこっと調べた結果，分布の密度を画像のピクセル値に反映すればよいようです．

実際にやってみたところ，下のような図が出来ました．


Fig.2 ロジスティック写像の分岐図(分布密度版，0<=a<=4，0<=X_n<=1)

さらに右端(3.5<=a<=4)を拡大してみるとFig.3，Fig.4のようになります．


Fig.3 ロジスティック写像の分岐図(分布密度版，3.5<=a<=4，0<=X_n<=1)


Fig.4 ロジスティック写像の分岐図(分布密度版，3.5<=a<=4，0<=X_n<=1)

Fig.3，Fig.4は配色を変えてあります．
というわけで，単純な2次式から，こんな美しい画像が生成できました．

参考文献

Wikipediaの執筆者たち．“カオス理論”．Wikipedia．＜http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%82%AA%E3%82%B9%E7%90%86%E8%AB%96＞．（参照2009年2月6日）

森川浩．“ロジスティック写像”．＜http://www2.neweb.ne.jp/wc/morikawa/log.html＞．数理科学美術館．（参照2009年2月6日）