カオス #4 マンデルブロ集合

きっと，誰もが見たことある，そう信じているのが下図です．


Fig.1 Mandelbrot set

この図はマンデルブロ集合を可視化したものです．

マンデルブロ集合とは，ブノワ・マンデルブロ(Benoît B. Mandelbrot)が発見したものです．彼は，フラクタルの父として著名です．

定義：
マンデルブロ集合とは，次の漸化式

z_n+1=z_n²+C
z₀=0

において，lim(n→∞)z_nが発散しなかった時の複素数C全体の集合．

というわけで，たった数行で説明できるものです．複素数を知っている人なら，理解できます．Fig.1で言うと，黒い部分がマンデルブロ集合です．カラフルな所はマンデルブロ集合ではなく，z_nの発散速度に応じて，色づけしたものです．

ちなみに，実際の計算時には
z_n=x_n+y_ni
C=a+bi
=>
x_n+1=x_n²-y_n²+a
y_n+1=2x_ny_n+b
としています．

z²ときたら，z³がどうなるか知りたくなります．というわけで，指数を3，4とした時のものが下になります．


Fig.2 z_n+1=z_n³+C


Fig.3 z_n+1=z_n⁴+C

指数が2の時には一つだったダルマ状のモノが段々増えていきます．nを指数とすると，n-1個のダルマが出来るようです．

ついでに指数が1の時も…


Fig.4 z_n+1=z_n+C

これらの図形は自己相似っぽいフラクタルです．厳密には，拡大すると少しずつ違った図形となるらしいです．

ちょっと配色を変えたり，拡大したものを下にチョコチョコと載せておきます．

ギャラリー


Fig.1の一部を何倍かに拡大したもの．同じような形が出てきます．絵としてはこちらのほうが綺麗です．


Fig.1の一部を何倍かに拡大したもの．


割と綺麗に描画出来てると思います．


配色を変更．


こんな風に見える場所もあります．

次は，さらに指数が小数だとどうなるかを紹介しようかと思います．

参考文献

Wikipediaの執筆者たち．“マンデルブロ集合”．＜http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9E%E3%83%B3%E3%83%87%E3%83%AB%E3%83%96%E3%83%AD%E9%9B%86%E5%90%88＞．Wikipedia．（参照2009年2月22日）

森川浩．“マンデルブロー集合”．＜http://www2.neweb.ne.jp/wc/morikawa/man.html＞．数理科学美術館．（参照2009年2月22日）