数学 #1 ゼータ関数

先日，電車に乗っていたら，学生2人が乗り込んできました．
会話を盗み聞きしていたのですが，大体こんな内容だったと思います．
…
A「おまえ，ζ関数知ってるか」
B「何それ」
A「おっまえ，ζ関数知しらねぇのか．ζ(s)=∑1/n^sでよぉ，ζ(2)=π²/6になんだぜ」
B「πでてくんのかよ，まじパネェな」
A「そんでよ，ζ(-1)発散すると思うだろぉ．解析接続とかするとζ(-1)=-1/12になるんだぜ」
B「ζ関数まじパネェな」
A「ζ(-2)なんか0になっちまうんだぜ，まじパネェよ」
…

さて，そんなわけでζ(:ゼータ)関数ですが，下の様な定義です．
ζ(s)=∑_1≦n1/n^s
この級数の和は，s>1に対してのみ収束しますが，A君の言う通り，解析接続によって複素数平面全体(一部除く)にまで定義域を拡張できます．例えば，
ζ(-1)=1+2+3+4+5+…
となり，明らかにこの級数は発散しますが，解析接続をすると，
ζ(-1)=-1/12
となるようです．

しかし，級数を強引に弄ると，
ζ(-1)=1+2+3+4+5+…=-1/12
を示すことも出来ます．

ζ(-1):
s=ζ(-1)=1+2+3+4+5+…
-3s=s-4s=1-2+3-4+5-…
-6s=-3s-3s=1-1+1-1+1-…
-12s=-6s-6s=1+0+0+0+0+…=1
∴ζ(-1)=-1/12

ζ(-2):
s=ζ(-2)=1+2²+3²+4²+5²+…
-7s=s-2*2²*s=1-2²+3²-4²+5²-…
-14s=-7s-7s=1-3+5-7+9-…
-28s=-14s-14s=1-2+2-2+2-…
-56s=-28s-28s=1-1+0+0+0+…=0
∴ζ(-2)=0

ζ(-3):
s=ζ(-3)=1+2³+3³+4³+5³+…
-15s=s-2*2³*s=1-2³+3³-4³+5³-…
-30s=-15s-15s=1-7+19-37+61-…
-60s=-30s-30s=1-6+12-18+24-…
-120s=-60s-60s=1-5+6-6+6-…
-240s=-120s-120s=1-4+1-0+0+…=-2
∴ζ(-3)=1/120

非常にオドロキです．かなり強引とはいえ，一応の形で示すことが出来ています．

ちなみにζ関数に関連したリーマン予想は，ミレニアム懸賞問題であり，解決することが出来れば賞金1億円がもらえます．暇な人はどうぞ．