カオス理論 #22 1/fゆらぎ

「1/fゆらぎ」
簡単に言うと，振幅スペクトルがf(周波数)に反比例するゆらぎのことです．

これは，様々な現象(物理，生物)に現れます．
例えば，木目の模様は1/fゆらぎです．脈の間隔も1/fゆらぎだったりするので，人間が快適と感じるらしい…です．

無秩序と秩序の間(カオス)といった所とも言えるようです．
ちなみに，同じ周波数成分を持つ光はピンク色なので，ピンクノイズ(pink noise)とも言います．

文章だと意味不明なので，実際に作ってみた例．

F(t)
=∑_{k∈(-∞, ∞)} c_ke^jωkt
=∑_{k∈(-∞, ∞)} |c_k|e^j(ωkt+φ_k)
=∑_{k∈[0, ∞)} 2|c_k|cos(ωkt+φ_k)
c_k=|c_k|e^jφ_k
|c_k|=0(k=0)
=1/k(o.w.)
φ_k∈[0, 2π)

位相φ_kは，[0, 2π)の範囲で乱数により与えています．
振幅スペクトルは，|c_k|．
位相スペクトルは，φ_kとなります．

では，F(t)はどんな波形になるかというと…


Fig.1 pink noise(graph)


Fig.2 pink noise(line)
Fig.2は閾値を設けてそれ未満なら黒，それ以上なら白としています．

ちなみに，振幅スペクトルが1だったとすると，F(t)はホワイトノイズとなります．

Fig.3 white noise(graph)


Fig.4 white noise(line)

ホワイトノイズの方は乱雑としています．ちなみに，1/f²の場合は，1/fに比べ，より無秩序さが失われます．