数学 #2 数値解析 #1 オイラー法

微分方程式が趣味の方は居るでしょうか．
日々閉じた解を追い求める，これ以上のロマンはありません．

しかし，行き詰ってしまうことも少なくないはず．そこはそれ，人生は旅です．気楽に行きましょう．

そんなわけでオイラー法です．

例えば，
y'=x²+y²
この微分方程式は，解を初等関数で表すことはできないようです．

ではどうするか．数値解を求めれば良いのです．

まず，初期値x₀，y₀，刻み幅hを決めます．

さて，
x₁=x₀+h
y₁=y(x₁)
としましょう．y(x₁)はy()が分からないので求められませんが，テイラー展開することが出来ます．

y₁=y(x₀+h)
=y₀+hy'₀+(h²/2!)y''_n…

始めの2項にのみ注目しましょう．(hが十分に小さいとすれば，それ以降を無視しても誤差は小さいです)
つまり，
x₁=x₀+h
y₁=y₀+hy'₀
と書くことが出来ます．

ちなみに，ここで，y'₀は
y'₀=y'(x₀, y₀)
ですのでご注意を．

最終的に，これを再帰的に記述すれば，
x_n+1=x_n+h
y_n+1=y_n+hf(x_n, y_n)
(但し，f(x, y)=y'(x, y))

となります．
これらから，初期値を決めてしまえば，数値的振る舞いが分かるのです．

下に例を示しましょう．


Fig.1
先の微分方程式について，それぞれの座標での傾きを表したものです(-2≦x≦2, -2≦y≦2)．これで，解の外形をイメージすることが出来ます．


Fig.2 x₀=-1.6, y₀=-1.8, h=1/4, 1/16
初期値を設定して"解いて"みました(-2≦x≦2, -2≦y≦2)．
hが小さいほど，誤差は小さくなります(hが1/2になると，誤差も1/2になる)．

ちなみにこれ，精度はそれ程良くないです．
もっと精度を良くしたいというのであらば，テーラー級数の項を増やすか，あの方法を使いましょう…と，次回へ引き延ばしてみたり．