数学 #9 積分記号下での微分

私淑する物理学者の中に，ファインマンという人がいます．

彼の自伝(「ご冗談でしょう、ファインマンさん」)の中にこんな文章がありました．

ウッズの本には積分記号の中で係数を微分する方法もでていたが、あれだって一種の演算だ。ところが大学ではこれをあんまり教えないし、強調もしない。僕はウッズの本のおかげでその方法の使い方を覚え、それからもずっと馬鹿の一つ覚えみたいに、あれを繰り返し役に立ててきた。何しろ本を読んで覚えた自己流だから、僕のはずいぶんへんてこな積分法だったと思う。

というわけですが，この「積分記号の中で微分する」というのが暫くどういった方法か分かりませんでした．最近になって調べ直した所，解析概論の中に例を含めて載っているとのことなので，早速見てみました

解析概論
第4章 無限級数 一様収束
48. 連続的変数に関する一様収束 積分記号下での微分積分

仮定，条件は素っ飛ばすので厳密は微塵もなくなりますが，つまりは，


ということです．

例1:
下の定積分は直ぐに求められます．


ここで，両辺をαで偏微分すると，




となります．
同様にすると，n階偏微分の時


という公式が出来ます．

例2:
下の定積分も頑張れば求められます．


そして，

と改め，αでn階偏微分すると，




となります．

こんな方法があるのでした．