2009年9月4日金曜日

数学 #9 積分記号下での微分

私淑する物理学者の中に,ファインマンという人がいます.

彼の自伝(「ご冗談でしょう、ファインマンさん」)の中にこんな文章がありました.

ウッズの本には積分記号の中で係数を微分する方法もでていたが、あれだって一種の演算だ。ところが大学ではこれをあんまり教えないし、強調もしない。僕はウッズの本のおかげでその方法の使い方を覚え、それからもずっと馬鹿の一つ覚えみたいに、あれを繰り返し役に立ててきた。何しろ本を読んで覚えた自己流だから、僕のはずいぶんへんてこな積分法だったと思う。

というわけですが,この「積分記号の中で微分する」というのが暫くどういった方法か分かりませんでした.最近になって調べ直した所,解析概論の中に例を含めて載っているとのことなので,早速見てみました

解析概論
第4章 無限級数 一様収束
48. 連続的変数に関する一様収束 積分記号下での微分積分

仮定,条件は素っ飛ばすので厳密は微塵もなくなりますが,つまりは,


ということです.

例1:
下の定積分は直ぐに求められます.


ここで,両辺をαで偏微分すると,




となります.
同様にすると,n階偏微分の時


という公式が出来ます.

例2:
下の定積分も頑張れば求められます.


そして,

と改め,αでn階偏微分すると,




となります.

こんな方法があるのでした.

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