数学 #5 迷い歩き

問題:
"歩行者"は，x=0から出発して，前(+x方向)か，後(-x方向)へ1歩ずつ進む事が出来る．
前，後，どちらへ進むかは確率的であり，P(+x)=P(-x)=0.5．
この時，"歩行者"がN歩あるいたとすると，出発点(x=0)からどれだけの距離にいる事になるか．

直感的には，どちらへ行くにも等確率だから，"x=0にいる"，と考えられますが…．

実験:
歩行者:8人


Fig.1 256歩


Fig.2 1024歩


Fig.3 4096歩

それぞれの画像に置いて，右端が(256, 1024, 4096)歩あるいた時の歩行者の位置で，1つ左のピクセルが，(255, 1023, 4095)歩あるいた時の位置，1つ左のピクセルが，(254, 1022, 4094)歩と，行程が続いています．
また，出発点からの距離の自乗を
D^[i]=distance
と表示させています．

それぞれの歩数における，距離自乗平均は，
256[歩] - 348[歩²]
1024[歩] - 1232[歩²]
4096[歩] - 4793[歩²]
でした．

これはどうなっているのかというと…

検証：

N歩あるいた時の出発点からの距離を，統計的に求めてみます．

D_i
をi歩あるいた時の，出発点からの距離とします．
[D_N²]
を求めます([X]はXの期待値です)．
まず，
[D₁²]=1
は明らかです(0の地点から，1歩だけ歩いたから，距離の自乗は(±1)²=1)．

そして，D_Nを，D_N-1で表すと，
D_N=
D_N-1+1
or
D_N-1-1
ですので，両辺自乗で，
D_N²=
D_N-1²+2D_N-1+1
or
D_N-1²-2D_N-1+1
orを挟んだ2つの式は，どちらも等確率で起こるので，
D_N²の期待値は，
[D_N²]=
{[D_N-1²+2D_N-1+1]+[D_N-1²-2D_N-1+1]}/2
=[D_N-1²]+1
そして，[D₁²]=1より，
[D_N²]=N
となります．

rms(二乗平均平方根)で表すと，
D_rms=√N
となります．

結論が出ました．
ということで，実はN歩あるいた場合，出発点からの距離(の期待値)は√Nになるのでした．
先の実験結果を見ると，平均値は，期待値に"割と"近いことが分かります．

ちなみに，1ステップにおける歩数を，±1ではなく，[-1, +1]などにすると，より面白くなります．